Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - {(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - {(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} {(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} {(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} {(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 5

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de ${(x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {(lim_{x \to 8} x^{3} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {(lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 7

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 3}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 3}$

Paso 10

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 3}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 3}$

Paso 12

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}$

Paso 13

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - {({(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - {(8^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}$

Paso 14.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - {(8^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}$

Paso 14.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - {(8^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 - {(8^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.1.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$\frac{192 - {(8^{3} - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{192 - {(512 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{192 - {(512 - 1)}^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.1.4

Resta $1$ de $512$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{4 \cdot 64 + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.2.2

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{256 + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.2.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{256 + 64 - 1 \cdot 3}$

Paso 15.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{256 + 64 - 3}$

Paso 15.2.5

Suma $256$ y $64$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{320 - 3}$

Paso 15.2.6

Resta $3$ de $320$ .

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{317}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{192 - 511^{\frac{2}{3}}}{317}$

Forma decimal:

$0.40404845 \dots$