Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{7 x - 5}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Paso 4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Paso 5

Mueve el exponente $- 7$ de $x^{- 7}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 8

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 10.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{3 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{7}}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $7$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.6

Para escribir $6 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} \cdot \frac{2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.7

Combina $6 \sqrt{2}$ y $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152 + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.1.9

Multiplica $2097152$ por $6$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 1 \cdot 5}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 5}$

Paso 10.2.3

Resta $5$ de $56$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{51}$

Paso 10.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$

Paso 10.4

Multiplica $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}$ por $\frac{1}{51}$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152 \cdot 51}$

Paso 10.4.2

Multiplica $2097152$ por $51$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Forma decimal:

$0.16637807 \dots$