Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Paso 1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 8} \frac{e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$3 \frac{lim_{x \to 8} e^{- x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$3 \frac{e^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Paso 4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + 7 e^{- x})}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Paso 8

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 lim_{x \to 8} e^{- x})}$

Paso 9

Mueve el límite dentro del exponente.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{lim_{x \to 8} - x})}$

Paso 10

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- 8})}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Mueve $e^{- 8}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 e^{- 8}) e^{8}}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 \frac{1}{e^{8}}) e^{8}}$

Paso 12.2.1.2

Combina $7$ y $\frac{1}{e^{8}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Paso 12.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Paso 12.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8} + 7}{e^{8}}) e^{8}}$

Paso 12.2.4

Mueve $e^{8}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 \frac{1}{\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8}) e^{8}}$

Paso 12.2.5

Reescribe $\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8})$ como $\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})) e^{8}}$

Paso 12.2.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 8$ fuera del exponente.

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \ln (e)) e^{8}}$

Paso 12.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \cdot 1) e^{8}}$

Paso 12.2.8

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Paso 12.3

Combina $3$ y $\frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ .

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Paso 12.4

Reordena los factores en $\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ .

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Forma decimal:

$0.42907442 \dots$