Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{\sin (x) + 2}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ ; para ello, mueve $\sin (x) + 2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Paso 3.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.1

Evalúa $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Paso 5.1.2

Suma $0.1391731$ y $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Paso 5.1.3

Simplifica $2.1391731 \cdot \ln (8)$ al mover $2.1391731$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Paso 5.1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Paso 5.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Paso 5.2

Divide $1$ por $85.48025477$ .

$0.0116986$