Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 3

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Paso 8

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{2} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 12.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{4 (2)}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 + 3 (2 \sqrt{2})}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.1.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $8$ de $- 16$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 (- 2) \frac{1}{8}}$

Paso 12.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 \cdot - 2 \frac{1}{8}}$

Paso 12.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 2}$

Paso 12.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $4 + 6 \sqrt{2}$ y $2$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.3.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 12.3.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 12.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 12.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 12.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 12.3.4.4

Divide $2 + 3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 + 3 \sqrt{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + 3 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$6.24264068 \dots$