Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 5

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $\frac{1}{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- lim_{x \to - 8} 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 1 \cdot 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

Paso 9

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} lim_{x \to - 8} x^{8}}$

Paso 10

Mueve el exponente $8$ de $x^{8}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 4096 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.2

Multiplica $5$ por $4096$ .

$\frac{\sqrt{20480 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.3

Para escribir $20480$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{20480 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.4

Combina $20480$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.6.1

Multiplica $20480$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81920 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.6.2

Resta $1$ de $81920$ .

$\frac{\sqrt{\frac{81919}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.7

Reescribe $\sqrt{\frac{81919}{4}}$ como $\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.8

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{2^{2}}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.1.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} \cdot 16777216}$

Paso 12.2.2

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot 16777216$ .

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Paso 12.2.2.1

Multiplica $16777216$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - 16777216 (\frac{2}{3})}$

Paso 12.2.2.2

Combina $- 16777216$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 16777216 \cdot 2}{3}}$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $- 16777216$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 33554432}{3}}$

Paso 12.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{33554432}{3}}$

Paso 12.2.4

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Paso 12.2.5

Combina $- 12$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

Paso 12.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3 - 33554432}{3}}$

Paso 12.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.7.1

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 36 - 33554432}{3}}$

Paso 12.2.7.2

Resta $33554432$ de $- 36$ .

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 33554468}{3}}$

Paso 12.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- \frac{33554468}{3}}$

Paso 12.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$

Paso 12.4

Multiplica $\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$ .

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Paso 12.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{81919}}{2}$ por $\frac{3}{33554468}$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{2 \cdot 33554468}$

Paso 12.4.2

Multiplica $2$ por $33554468$ .

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{67108936}$

Paso 12.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{81919}$ .

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

Forma decimal:

$- 1.27947917 \cdot 10^{- 5}$