Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 8

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Paso 11

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Paso 12

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 64}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 5$ por $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.4

Suma $2$ y $24$ .

$\frac{\sqrt[3]{26 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.5

Resta $320$ de $26$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.6

Reescribe $- 294$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 294$ .

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Paso 14.1.6.1

Reescribe $- 294$ como $- 1 (294)$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 1 (294)}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.6.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{- 1 \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.1.8

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{294}$ como $- \sqrt[3]{294}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Multiplica $8$ por $8^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.2.1.1

Multiplica $8$ por $8^{2}$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Paso 14.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1 + 2}}}$

Paso 14.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{3}}}$

Paso 14.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 512}}$

Paso 14.2.3

Suma $1$ y $512$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{513}}$

Paso 14.2.4

Reescribe $513$ como $3^{3} \cdot 19$ .

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Paso 14.2.4.1

Factoriza $27$ de $513$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Paso 14.2.4.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Paso 14.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Paso 14.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}})$

Paso 14.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 14.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 14.5.2

Mueve $\sqrt[3]{19}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Paso 14.5.3

Eleva $\sqrt[3]{19}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Paso 14.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Paso 14.5.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Paso 14.5.6

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ como $19$ .

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Paso 14.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{19}$ como $19^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 14.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 14.5.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 14.5.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 14.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Paso 14.5.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Paso 14.6

Simplifica el numerador.

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Paso 14.6.1

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ como $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Paso 14.6.2

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Paso 14.7

Multiplica $3$ por $19$ .

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{57}$

Paso 14.8

Simplifica el numerador.

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Paso 14.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt[3]{294 \cdot 361}}{57}$

Paso 14.8.2

Multiplica $294$ por $361$ .

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

Forma decimal:

$- 0.83063454 \dots$