Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Paso 2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Paso 4.2

Simplifica $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ al mover $24$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Paso 4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Paso 4.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Paso 4.4.2

Resta $1$ de $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Paso 4.5

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Paso 4.6

Eleva $8$ a la potencia de $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Paso 4.7

Eleva $7$ a la potencia de $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $4722366482869640000000$ y $191581231380566000000$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $2000000$ de $4722366482869640000000$ .

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Paso 4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.2.1

Factoriza $2000000$ de $191581231380566000000$ .

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Paso 4.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Paso 4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Forma decimal:

$24.64942128 \dots$