Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 4

Mueve el exponente $6$ de $x^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $64$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Paso 11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Paso 12

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Paso 13

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 14.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.1.2

Suma $262144$ y $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.1.3

Reescribe $262208$ como $4^{3} \cdot 4097$ .

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Paso 15.1.3.1

Factoriza $64$ de $262208$ .

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.1.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.2.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Paso 15.2.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

Paso 15.2.4

Multiplica $2$ por $4096$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

Paso 15.2.5

Suma $8192$ y $16$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

Paso 15.2.6

Reescribe $8208$ como $12^{2} \cdot 57$ .

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Paso 15.2.6.1

Factoriza $144$ de $8208$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

Paso 15.2.6.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

Paso 15.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $4$ y $192 + 12 \sqrt{57}$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt[3]{4097}$ .

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Paso 15.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.3.2.1

Factoriza $4$ de $192$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

Paso 15.3.2.2

Factoriza $4$ de $12 \sqrt{57}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

Paso 15.3.2.3

Factoriza $4$ de $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Paso 15.3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Paso 15.3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

Paso 15.5

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

Paso 15.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Paso 15.7

Simplifica.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

Paso 15.8

Cancela el factor común de $48 - 3 \sqrt{57}$ y $1791$ .

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Paso 15.8.1

Factoriza $3$ de $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

Paso 15.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.8.2.1

Factoriza $3$ de $1791$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

Paso 15.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

Paso 15.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Forma decimal:

$0.22648852 \dots$