Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{2}{x})}^{3 x}$

Paso 1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}^{3 x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 2}{x})}^{3 x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{x - 2}{x})}^{3 x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x - 2}{x})}^{3 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 2}{x})}^{3 x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{x - 2}{x})}^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x - 2}{x})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x - 2}{x})}$

Paso 3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 2}{x})}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 2}{x})}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 2}{x})}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 2}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}$

Paso 5.2

Simplifica $24 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})$ al mover $24$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}^{24})}$

Paso 5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{8 - 1 \cdot 2}{8})}^{24}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $8 - 1 \cdot 2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 2}{8})}^{24}$

Paso 5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (2)}{8})}^{24}$

Paso 5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

${(\frac{- 1 (- 8 + 2)}{8})}^{24}$

Paso 5.4.4

Factoriza $2$ de $- 1 (- 8 + 2)$ .

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{8})}^{24}$

Paso 5.4.5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{2 (4)})}^{24}$

Paso 5.4.5.2

Cancela el factor común.

${(\frac{2 (- 1 (- 4 + 1))}{2 \cdot 4})}^{24}$

Paso 5.4.5.3

Reescribe la expresión.

${(\frac{- 1 (- 4 + 1)}{4})}^{24}$

Paso 5.5

Suma $- 4$ y $1$ .

${(\frac{- 1 \cdot - 3}{4})}^{24}$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

${(\frac{3}{4})}^{24}$

Paso 5.7

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3^{24}}{4^{24}}$

Paso 5.8

Eleva $3$ a la potencia de $24$ .

$\frac{282429536481}{4^{24}}$

Paso 5.9

Eleva $4$ a la potencia de $24$ .

$\frac{282429536481}{281474976710656}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{282429536481}{281474976710656}$

Forma decimal:

$0.00100339 \dots$