Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{- 2 x + 5}{5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} - 2 x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{- lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{lim_{x \to - 8} 5 x - lim_{x \to - 8} \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} \sqrt{25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{lim_{x \to - 8} 25 x^{2} + x - 5}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{lim_{x \to - 8} 25 x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Paso 9

Mueve el término $25$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to - 8} x + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 lim_{x \to - 8} x - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} + lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5}}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{- 2 \cdot - 8 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$\frac{16 + 5}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.1.2

Suma $16$ y $5$ .

$\frac{21}{5 \cdot - 8 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $5$ por $- 8$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{25 {(- 8)}^{2} - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{25 \cdot 64 - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2.3

Multiplica $25$ por $64$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1600 - 8 - 1 \cdot 5}}$

Paso 13.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1600 - 8 - 5}}$

Paso 13.2.5

Resta $8$ de $1600$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1592 - 5}}$

Paso 13.2.6

Resta $5$ de $1592$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{1587}}$

Paso 13.2.7

Reescribe $1587$ como $23^{2} \cdot 3$ .

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Paso 13.2.7.1

Factoriza $529$ de $1587$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{529 (3)}}$

Paso 13.2.7.2

Reescribe $529$ como $23^{2}$ .

$\frac{21}{- 40 - \sqrt{23^{2} \cdot 3}}$

Paso 13.2.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{21}{- 40 - (23 \sqrt{3})}$

Paso 13.2.9

Multiplica $23$ por $- 1$ .

$\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$

Paso 13.3

Multiplica $\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$ por $\frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$ .

$\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$

Paso 13.4

Multiplica $\frac{21}{- 40 - 23 \sqrt{3}}$ por $\frac{- 40 + 23 \sqrt{3}}{- 40 + 23 \sqrt{3}}$ .

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{(- 40 - 23 \sqrt{3}) (- 40 + 23 \sqrt{3})}$

Paso 13.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{1600 - 920 \sqrt{3} + 920 \sqrt{3} - 529 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 13.6

Simplifica.

$\frac{21 (- 40 + 23 \sqrt{3})}{13}$

Paso 13.7

Reescribe $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$\frac{21 (- 1 (40) + 23 \sqrt{3})}{13}$

Paso 13.8

Factoriza $- 1$ de $23 \sqrt{3}$ .

$\frac{21 (- 1 (40) - (- 23 \sqrt{3}))}{13}$

Paso 13.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (40) - (- 23 \sqrt{3})$ .

$\frac{21 (- 1 (40 - 23 \sqrt{3}))}{13}$

Paso 13.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21 (40 - 23 \sqrt{3})}{13}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{21 (40 - 23 \sqrt{3})}{13}$

Forma decimal:

$- 0.26303538 \dots$