Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{18 x}{18 x + 4})}^{5 x}$

Paso 1

Cancela el factor común de $18$ y $18 x + 4$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{18 x + 4})}^{5 x}$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 4})}^{5 x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 2 (2)})}^{5 x}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (9 x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Paso 1.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 8} {(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$ como $e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})$ ; para ello, mueve $5 x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} 5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Paso 3.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{9 x}{9 x + 2})}$

Paso 3.5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 lim_{x \to 8} \frac{x}{9 x + 2})}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + 2})}$

Paso 3.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2})}$

Paso 3.8

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Paso 3.9

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$e^{40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Paso 5.2

Simplifica $40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})$ al mover $40$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40})}$

Paso 5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $8$ y $9 \cdot 8 + 2$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $2$ de $9 \cdot 8$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2})}^{40}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2 (1)})}^{40}$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (9 \cdot 4) + 2 (1)$ .

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Paso 5.4.2.4

Cancela el factor común.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Paso 5.4.2.5

Reescribe la expresión.

${(9 \frac{4}{9 \cdot 4 + 1})}^{40}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $9$ por $4$ .

${(9 \frac{4}{36 + 1})}^{40}$

Paso 5.5.2

Suma $36$ y $1$ .

${(9 (\frac{4}{37}))}^{40}$

Paso 5.6

Multiplica $9 (\frac{4}{37})$ .

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Paso 5.6.1

Combina $9$ y $\frac{4}{37}$ .

${(\frac{9 \cdot 4}{37})}^{40}$

Paso 5.6.2

Multiplica $9$ por $4$ .

${(\frac{36}{37})}^{40}$

Paso 5.7

Aplica la regla del producto a $\frac{36}{37}$ .

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Forma decimal:

$0.33421894 \dots$