Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{5 e^{- 3 x} + e^{3 x}}{4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- 3 x} + e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{5 e^{lim_{x \to 8} - 3 x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 5

Mueve el término $- 3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{lim_{x \to 8} 3 x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + 5 e^{3 x}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Paso 9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 lim_{x \to 8} e^{- 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{lim_{x \to 8} - 3 x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Paso 11

Mueve el término $- 3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 5 e^{3 x}}$

Paso 12

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 lim_{x \to 8} e^{3 x}}$

Paso 13

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{lim_{x \to 8} 3 x}}$

Paso 14

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 lim_{x \to 8} x} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Paso 15.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{5 e^{- 3 \cdot 8} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$\frac{5 e^{- 24} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{e^{24}} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.3

Combina $5$ y $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + e^{3 \cdot 8}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + e^{24}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.5

Para escribir $e^{24}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{24}} + \frac{e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 + e^{24} e^{24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.7

Multiplica $e^{24}$ por $e^{24}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{5 + e^{24 + 24}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.1.7.2

Suma $24$ y $24$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 e^{- 3 \cdot 8} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 e^{- 24} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{4 \frac{1}{e^{24}} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + 5 e^{3 \cdot 8}}$

Paso 16.2.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + 5 e^{24}}$

Paso 16.2.5

Para escribir $5 e^{24}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4}{e^{24}} + \frac{5 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}$

Paso 16.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{24} e^{24}}{e^{24}}}$

Paso 16.2.7

Multiplica $e^{24}$ por $e^{24}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.2.7.1

Mueve $e^{24}$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 (e^{24} e^{24})}{e^{24}}}$

Paso 16.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{24 + 24}}{e^{24}}}$

Paso 16.2.7.3

Suma $24$ y $24$ .

$\frac{\frac{5 + e^{48}}{e^{24}}}{\frac{4 + 5 e^{48}}{e^{24}}}$

Paso 16.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5 + e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.4

Cancela el factor común de $e^{24}$ .

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Paso 16.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 + e^{48}}{e^{24}} \cdot \frac{e^{24}}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.4.2

Reescribe la expresión.

$(5 + e^{48}) \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \frac{1}{4 + 5 e^{48}} + e^{48} \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.6

Combina $5$ y $\frac{1}{4 + 5 e^{48}}$ .

$\frac{5}{4 + 5 e^{48}} + e^{48} \frac{1}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.7

Combina $e^{48}$ y $\frac{1}{4 + 5 e^{48}}$ .

$\frac{5}{4 + 5 e^{48}} + \frac{e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 16.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5 + e^{48}}{4 + 5 e^{48}}$

Forma decimal:

$0.2$