Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 4

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x)$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0} x)$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (0)$

Paso 7

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$