Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite de $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $n$ de $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Factoriza $n$ de $2 n^{3}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.1.2

Factoriza $n$ de $3 n^{2}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.1.3

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.1.4

Factoriza $n$ de $n^{1}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.1.5

Factoriza $n$ de $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.1.6

Factoriza $n$ de $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 2.1.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 n$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.1.2

Reescribe $3$ como $1$ más $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.1.4

Multiplica $n$ por $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 729$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $3$ de $6 n^{3}$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Paso 2.1.2.3

Cancela el factor común.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Paso 2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Paso 2.1.3

Combina $- 243$ y $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $n$ y $n^{3}$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $n$ de $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $n$ de $2 n^{3}$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.2

Para escribir $729$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.3

Combina $729$ y $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $243$ de $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $243$ de $729 \cdot 2 n^{2}$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $243$ de $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $243$ de $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.6

Expande $(- 2 n - 1) (n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.7.1.1

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.1.1.1

Mueve $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7.1.1.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7.1.3

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.7.2

Resta $n$ de $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.8

Resta $2 n^{2}$ de $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.5.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.5.9.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 n$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.1.4

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.5.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Paso 2.5.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$