Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Paso 1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe ${(x + 1)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(x + 1)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Paso 3.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Paso 4

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe ${(x)}^{x}$ como $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Paso 4.2

Expande $\ln ({(x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Paso 5

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Paso 7.2

Mueve $e^{8 \cdot \ln (8)}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7.3

Multiplica $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ por $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7.3.2

Suma $8$ y $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Simplifica $8 \ln (9)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7.3.3.2

Eleva $9$ a la potencia de $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Paso 7.3.3.3

Simplifica $- 8 \ln (8)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Paso 7.3.3.4

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Paso 7.3.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Paso 7.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ fuera del exponente.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Paso 7.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Paso 7.6

Multiplica $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ por $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Forma decimal:

$0.94226428 \dots$