Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{8 x + 3 x - 3}{\sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 8 x + 3 x - 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 8 x + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Paso 8

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Paso 11

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Paso 12.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.1.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{64 + 24 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{64 + 24 - 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.1.4

Suma $64$ y $24$ .

$\frac{88 - 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.1.5

Resta $3$ de $88$ .

$\frac{85}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{85}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{2}$ .

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Paso 13.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{85}{\sqrt{2^{2 + 6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.5

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{8}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$\frac{85}{\sqrt{256} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.7

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{85}{\sqrt{16^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{85}{16 + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.9

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{85}{16 + 64 + 8 - 1 \cdot 2}$

Paso 13.2.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{85}{16 + 64 + 8 - 2}$

Paso 13.2.11

Suma $16$ y $64$ .

$\frac{85}{80 + 8 - 2}$

Paso 13.2.12

Suma $80$ y $8$ .

$\frac{85}{88 - 2}$

Paso 13.2.13

Resta $2$ de $88$ .

$\frac{85}{86}$

$\frac{85}{86}$

$\frac{85}{86}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{85}{86}$

Forma decimal:

$0.98837209 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$