Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{9 x^{6} - x}{(x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Paso 3

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Paso 4

Mueve el exponente $6$ de $x^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1 \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{(lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Paso 7

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 11

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 12

Mueve el exponente $6$ de $x^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 13.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $6$ .

$\frac{9 \cdot 262144 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $9$ por $262144$ .

$\frac{2359296 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14.1.3

Suma $2359296$ y $8$ .

$\frac{2359304}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

$\frac{2359304}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2359304}{(- 512 + 1) \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14.2.2

Suma $- 512$ y $1$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Paso 14.2.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $6$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 \cdot 262144 + 8}}$

Paso 14.2.4

Multiplica $9$ por $262144$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359296 + 8}}$

Paso 14.2.5

Suma $2359296$ y $8$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359304}}$

Paso 14.2.6

Reescribe $2359304$ como $2^{2} \cdot 589826$ .

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Paso 14.2.6.1

Factoriza $4$ de $2359304$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{4 (589826)}}$

Paso 14.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2^{2} \cdot 589826}}$

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2^{2} \cdot 589826}}$

Paso 14.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2359304}{- 511 \cdot 2 \sqrt{589826}}$

Paso 14.2.8

Multiplica $- 511$ por $2$ .

$\frac{2359304}{- 1022 \sqrt{589826}}$

$\frac{2359304}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2359304$ y $- 1022$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $2$ de $2359304$ .

$\frac{2 (1179652)}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Paso 14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 1022 \sqrt{589826}$ .

$\frac{2 (1179652)}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Paso 14.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1179652}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Paso 14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

Paso 14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$

Paso 14.5

Multiplica $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ por $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- (\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}} \cdot \frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}})$

Paso 14.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 14.6.1

Multiplica $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ por $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \sqrt{589826} \sqrt{589826}}$

Paso 14.6.2

Mueve $\sqrt{589826}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 (\sqrt{589826} \sqrt{589826})}$

Paso 14.6.3

Eleva $\sqrt{589826}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} \sqrt{589826})}$

Paso 14.6.4

Eleva $\sqrt{589826}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} {\sqrt{589826}}^{1})}$

Paso 14.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{1 + 1}}$

Paso 14.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{2}}$

Paso 14.6.7

Reescribe ${\sqrt{589826}}^{2}$ como $589826$ .

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Paso 14.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{589826}$ como $589826^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {(589826^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 14.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 14.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Paso 14.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{1}}$

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{1}}$

Paso 14.6.7.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

Paso 14.7

Cancela el factor común de $1179652$ y $589826$ .

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Paso 14.7.1

Factoriza $589826$ de $1179652 \sqrt{589826}$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{511 \cdot 589826}$

Paso 14.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.7.2.1

Factoriza $589826$ de $511 \cdot 589826$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Paso 14.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Paso 14.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Forma decimal:

$- 3.00587593 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$