Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{7 + 5^{x} + 3^{- x}}{13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + 5^{x} + 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 6

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $13$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Paso 9

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{lim_{x \to 8} - x}}$

Paso 11

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $8$ .

$\frac{7 + 390625 + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{3^{8}}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $8$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.4

Suma $7$ y $390625$ .

$\frac{390632 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.5

Para escribir $390632$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{390632 \cdot \frac{6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.6

Combina $390632$ y $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.8.1

Multiplica $390632$ por $6561$ .

$\frac{\frac{2562936552 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.1.8.2

Suma $2562936552$ y $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + 9^{- 8}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{9^{8}}}$

Paso 13.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{43046721}}$

Paso 13.2.4

Suma $13$ y $390625$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 + \frac{1}{43046721}}$

Paso 13.2.5

Para escribir $390638$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 \cdot \frac{43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Paso 13.2.6

Combina $390638$ y $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Paso 13.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721 + 1}{43046721}}$

Paso 13.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.8.1

Multiplica $390638$ por $43046721$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997998 + 1}{43046721}}$

Paso 13.2.8.2

Suma $16815684997998$ y $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997999}{43046721}}$

Paso 13.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{43046721}{16815684997999}$

Paso 13.4

Cancela el factor común de $6561$ .

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Paso 13.4.1

Factoriza $6561$ de $43046721$ .

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 (6561)}{16815684997999}$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 \cdot 6561}{16815684997999}$

Paso 13.4.3

Reescribe la expresión.

$2562936553 (\frac{6561}{16815684997999})$

Paso 13.5

Combina $2562936553$ y $\frac{6561}{16815684997999}$ .

$\frac{2562936553 \cdot 6561}{16815684997999}$

Paso 13.6

Multiplica $2562936553$ por $6561$ .

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Forma decimal:

$0.99998464 \dots$