Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{(x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 7

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Paso 10

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Paso 11

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1)}$

Paso 13

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Paso 14

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 15.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Cancela el factor común de $8 - 1 \cdot 2$ y $3 \cdot 8 + 2$ .

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Paso 16.1.1

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.1.4

Factoriza $2$ de $- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.1.5.1

Factoriza $2$ de $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Paso 16.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Paso 16.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2

Simplifica el numerador.

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Paso 16.2.1

Combina exponentes.

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Paso 16.2.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2.3

Resta $3$ de $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2.4

Combina exponentes.

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Paso 16.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.2.4.2

Multiplica $3$ por $13$ .

$\frac{39}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.3

Simplifica el denominador.

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Paso 16.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{39}{(12 + 1) (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.3.2

Suma $12$ y $1$ .

$\frac{39}{13 (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.3.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1 \cdot 1)}$

Paso 16.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1)}$

Paso 16.3.5

Resta $1$ de $32$ .

$\frac{39}{13 \cdot 31}$

Paso 16.4

Multiplica $13$ por $31$ .

$\frac{39}{403}$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $39$ y $403$ .

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Paso 16.5.1

Factoriza $13$ de $39$ .

$\frac{13 (3)}{403}$

Paso 16.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.5.2.1

Factoriza $13$ de $403$ .

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Paso 16.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Paso 16.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{31}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{31}$

Forma decimal:

$0.09677419 \dots$