Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{4 x - 7}{\sqrt{4 x^{2} + 8}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x - 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8}}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8}}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 7}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{32 - 7}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8}}$

Paso 11.1.3

Resta $7$ de $32$ .

$\frac{25}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{4 \cdot 64 + 8}}$

Paso 11.2.2

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{25}{\sqrt{256 + 8}}$

Paso 11.2.3

Suma $256$ y $8$ .

$\frac{25}{\sqrt{264}}$

Paso 11.2.4

Reescribe $264$ como $2^{2} \cdot 66$ .

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Paso 11.2.4.1

Factoriza $4$ de $264$ .

$\frac{25}{\sqrt{4 (66)}}$

Paso 11.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{25}{\sqrt{2^{2} \cdot 66}}$

Paso 11.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{25}{2 \sqrt{66}}$

Paso 11.3

Multiplica $\frac{25}{2 \sqrt{66}}$ por $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$\frac{25}{2 \sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Paso 11.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.4.1

Multiplica $\frac{25}{2 \sqrt{66}}$ por $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \sqrt{66} \sqrt{66}}$

Paso 11.4.2

Mueve $\sqrt{66}$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 (\sqrt{66} \sqrt{66})}$

Paso 11.4.3

Eleva $\sqrt{66}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 ({\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66})}$

Paso 11.4.4

Eleva $\sqrt{66}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 ({\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1})}$

Paso 11.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 {\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Paso 11.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 {\sqrt{66}}^{2}}$

Paso 11.4.7

Reescribe ${\sqrt{66}}^{2}$ como $66$ .

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Paso 11.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{66}$ como $66^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 {(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \cdot 66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \cdot 66^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \cdot 66^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \cdot 66^{1}}$

Paso 11.4.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{25 \sqrt{66}}{2 \cdot 66}$

Paso 11.5

Multiplica $2$ por $66$ .

$\frac{25 \sqrt{66}}{132}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{25 \sqrt{66}}{132}$

Forma decimal:

$1.53864363 \dots$