Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 1

Reduce.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 (x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}})}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 (x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}})}$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{3}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{3}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 8} \frac{2}{\sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Paso 7

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Paso 8

Mueve el exponente $6$ de $x^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Paso 9

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 15 lim_{x \to 8} x^{4}}}$

Paso 10

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 15 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 8^{6} + 15 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 8^{6} + 15 \cdot 8^{4}}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $6$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 262144 + 15 \cdot 8^{4}}}$

Paso 12.1.2

Multiplica $9$ por $262144$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 15 \cdot 8^{4}}}$

Paso 12.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 15 \cdot 4096}}$

Paso 12.1.4

Multiplica $15$ por $4096$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 61440}}$

Paso 12.1.5

Suma $2359296$ y $61440$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2420736}}$

Paso 12.1.6

Reescribe $2420736$ como $64^{2} \cdot 591$ .

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Paso 12.1.6.1

Factoriza $4096$ de $2420736$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4096 (591)}}$

Paso 12.1.6.2

Reescribe $4096$ como $64^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{64^{2} \cdot 591}}$

Paso 12.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \frac{1}{64 \sqrt{591}}$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $64 \sqrt{591}$ .

$2 \frac{1}{2 (32 \sqrt{591})}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 (32 \sqrt{591})}$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{32 \sqrt{591}}$

Paso 12.3

Multiplica $\frac{1}{32 \sqrt{591}}$ por $\frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$ .

$\frac{1}{32 \sqrt{591}} \cdot \frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$

Paso 12.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.4.1

Multiplica $\frac{1}{32 \sqrt{591}}$ por $\frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \sqrt{591} \sqrt{591}}$

Paso 12.4.2

Mueve $\sqrt{591}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 (\sqrt{591} \sqrt{591})}$

Paso 12.4.3

Eleva $\sqrt{591}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 ({\sqrt{591}}^{1} \sqrt{591})}$

Paso 12.4.4

Eleva $\sqrt{591}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 ({\sqrt{591}}^{1} {\sqrt{591}}^{1})}$

Paso 12.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{591}}{32 {\sqrt{591}}^{1 + 1}}$

Paso 12.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 {\sqrt{591}}^{2}}$

Paso 12.4.7

Reescribe ${\sqrt{591}}^{2}$ como $591$ .

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Paso 12.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{591}$ como $591^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 {(591^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{1}}$

Paso 12.4.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591}$

Paso 12.5

Multiplica $32$ por $591$ .

$\frac{\sqrt{591}}{18912}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{591}}{18912}$

Forma decimal:

$0.00128545 \dots$