Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 - 4}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.1.3

Suma $64$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{65 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.1.4

Resta $1$ de $65$ .

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.1.5

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{8}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 4}}$

Paso 13.2.3

Suma $64$ y $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{66 - 4}}$

Paso 13.2.4

Resta $4$ de $66$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}}$

Paso 13.3

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{62}}$ por $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}} \cdot \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$

Paso 13.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 13.4.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{62}}$ por $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{\sqrt{62} \sqrt{62}}$

Paso 13.4.2

Eleva $\sqrt{62}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} \sqrt{62}}$

Paso 13.4.3

Eleva $\sqrt{62}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} {\sqrt{62}}^{1}}$

Paso 13.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1 + 1}}$

Paso 13.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{2}}$

Paso 13.4.6

Reescribe ${\sqrt{62}}^{2}$ como $62$ .

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Paso 13.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{62}$ como $62^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{(62^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{1}}$

Paso 13.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62}$

Paso 13.5

Cancela el factor común de $8$ y $62$ .

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Paso 13.5.1

Factoriza $2$ de $8 \sqrt{62}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{62}$

Paso 13.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.5.2.1

Factoriza $2$ de $62$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 (31)}$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 \cdot 31}$

Paso 13.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Forma decimal:

$1.01600101 \dots$