Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x - x \sqrt{x}}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Paso 4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 7

Mueve el exponente $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Paso 9

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 10.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Paso 10.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 11.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{8 - 8 \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.1.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 11.2.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 11.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.2.2

Multiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Paso 11.2.1.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{1 + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2 + 9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.1.6

Suma $2$ y $9$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 1 \cdot 5}$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 5}$

Paso 11.2.4

Resta $5$ de $24$ .

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Forma decimal:

$- 0.22764695 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$