Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x \cos (x π)}{2 x - 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cos (x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \cos (x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (lim_{x \to 8} x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Paso 4

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π \cdot 8)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π \cdot 8)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{8 \cos (8 \cdot π)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{8 \cos (0)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{8 \cdot 1}{16 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{16 - 1}$

Paso 9.2.3

Resta $1$ de $16$ .

$\frac{8 \cdot 1}{15}$

Paso 9.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{8}{15}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{15}$

Forma decimal:

$0.5\overline{3}$