Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{- 10 x^{2} - 2 x + 7}{\sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} - 10 x^{2} - 2 x + 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{- lim_{x \to 8} 10 x^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 10 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{16} - 3 x - 1}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{16} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 9

Mueve el exponente $16$ de $x^{16}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{16} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 10

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{16} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{- 10 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{16} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{- 10 \cdot 8^{2} - 2 lim_{x \to 8} x + 7}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{16} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{- 10 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 7}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{16} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{- 10 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{- 10 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 10 \cdot 64 - 2 \cdot 8 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.1.2

Multiplica $- 10$ por $64$ .

$\frac{- 640 - 2 \cdot 8 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 640 - 16 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.1.4

Resta $16$ de $- 640$ .

$\frac{- 656 + 7}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.1.5

Suma $- 656$ y $7$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{8^{16} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $16$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{281474976710656 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{281474976710656 - 24 - 1 \cdot 1}}$

Paso 13.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{281474976710656 - 24 - 1}}$

Paso 13.2.4

Resta $24$ de $281474976710656$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{281474976710632 - 1}}$

Paso 13.2.5

Resta $1$ de $281474976710632$ .

$\frac{- 649}{\sqrt{281474976710631}}$

Paso 13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{649}{\sqrt{281474976710631}}$

Paso 13.4

Multiplica $\frac{649}{\sqrt{281474976710631}}$ por $\frac{\sqrt{281474976710631}}{\sqrt{281474976710631}}$ .

$- (\frac{649}{\sqrt{281474976710631}} \cdot \frac{\sqrt{281474976710631}}{\sqrt{281474976710631}})$

Paso 13.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 13.5.1

Multiplica $\frac{649}{\sqrt{281474976710631}}$ por $\frac{\sqrt{281474976710631}}{\sqrt{281474976710631}}$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{\sqrt{281474976710631} \sqrt{281474976710631}}$

Paso 13.5.2

Eleva $\sqrt{281474976710631}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{{\sqrt{281474976710631}}^{1} \sqrt{281474976710631}}$

Paso 13.5.3

Eleva $\sqrt{281474976710631}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{{\sqrt{281474976710631}}^{1} {\sqrt{281474976710631}}^{1}}$

Paso 13.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{{\sqrt{281474976710631}}^{1 + 1}}$

Paso 13.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{{\sqrt{281474976710631}}^{2}}$

Paso 13.5.6

Reescribe ${\sqrt{281474976710631}}^{2}$ como $281474976710631$ .

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Paso 13.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{281474976710631}$ como $281474976710631^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{{(281474976710631^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{281474976710631^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{281474976710631^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{281474976710631^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{281474976710631^{1}}$

Paso 13.5.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{649 \sqrt{281474976710631}}{281474976710631}$

Paso 13.6

Cancela el factor común de $649$ y $281474976710631$ .

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Paso 13.6.1

Factoriza $11$ de $649 \sqrt{281474976710631}$ .

$- \frac{11 (59 \sqrt{281474976710631})}{281474976710631}$

Paso 13.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.6.2.1

Factoriza $11$ de $281474976710631$ .

$- \frac{11 (59 \sqrt{281474976710631})}{11 (25588634246421)}$

Paso 13.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{11 (59 \sqrt{281474976710631})}{11 \cdot 25588634246421}$

Paso 13.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{59 \sqrt{281474976710631}}{25588634246421}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{59 \sqrt{281474976710631}}{25588634246421}$

Forma decimal:

$- 3.86834144 \cdot 10^{- 5}$