Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $9$ de $x^{9}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{\ln (x^{x})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.2.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $9$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$\frac{387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Simplifica $9 \cdot \ln (9)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$\frac{387420489 - e^{\ln (9^{9})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{387420489 - 9^{9}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.4

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$\frac{387420489 - 1 \cdot 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $387420489$ .

$\frac{387420489 - 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $387420489$ de $387420489$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{9} - x^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.3.4.2.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.2.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.7

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.4.8.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.8.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.4.9

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \cdot 1 - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.5.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 1.3.8

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1}$

Paso 1.4

Divide $9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 lim_{x \to 9} x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $8$ de $x^{8}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.8

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Paso 2.9

Mueve el límite dentro del exponente.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}$

Paso 2.10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}$

Paso 2.11

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $9$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $9$ para $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $9$ por $9^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $9$ por $9^{8}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9^{1 + 8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.1.2

Suma $1$ y $8$ .

$9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.3

Simplifica $9 \cdot \ln (9)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$387420489 - e^{\ln (9^{9})} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$387420489 - 9^{9} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.5

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$387420489 - 1 \cdot 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 1$ por $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Paso 4.1.7

Simplifica $9 \cdot \ln (9)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - e^{\ln (9^{9})}$

Paso 4.1.8

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 9^{9}$

Paso 4.1.9

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 1 \cdot 387420489$

Paso 4.1.10

Multiplica $- 1$ por $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 387420489$

Paso 4.2

Resta $387420489$ de $387420489$ .

$0 - 387420489 \ln (9)$

Paso 4.3

Resta $387420489 \ln (9)$ de $0$ .

$- 387420489 \ln (9)$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 387420489 \ln (9)$

Forma decimal:

$- 851249820.194417$