Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $n$ de $x^{n}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $a^{n}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $a$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $a$ para $x$ .

$\frac{a^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.2.3

Resta $a^{n}$ de $a^{n}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} a}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $a$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $a$ para $x$ .

$\frac{0}{a - a}$

Paso 1.1.3.3

Resta $a$ de $a$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{n} - a^{n}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.4

Como $- a^{n}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a^{n}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Suma $n x^{n - 1}$ y $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.5.2

Reordena los factores de $n x^{n - 1}$ .

$lim_{x \to a} \frac{x^{n - 1} n}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.5.3

Reordena los factores en $x^{n - 1} n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - a$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Paso 1.3.8

Como $- a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1}$

Paso 1.4

Divide $n x^{n - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to a} n x^{n - 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $n$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$n lim_{x \to a} x^{n - 1}$

Paso 2.2

Mueve el exponente $n - 1$ de $x^{n - 1}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$n {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $a$ para $x$ .

$n a^{n - 1}$