Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - \ln (1 + x)$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $999999$ .

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $999999$ .

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $999999$ .

$\ln (1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Paso 6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + x)$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x)$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $999999$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $999999$ para $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $999999$ para $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + 999999)$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1 + 999999^{2}}{1 + 999999})$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Eleva $999999$ a la potencia de $2$ .

$\ln (\frac{1 + 999998000001}{1 + 999999})$

Paso 10.2.2

Suma $1$ y $999998000001$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1 + 999999})$

Paso 10.3

Suma $1$ y $999999$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1000000})$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $999998000002$ y $1000000$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $2$ de $999998000002$ .

$\ln (\frac{2 (499999000001)}{1000000})$

Paso 10.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $2$ de $1000000$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Paso 10.4.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Paso 10.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Forma decimal:

$13.81550855 \dots$