Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Paso 1.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Paso 1.4.2

Convierte de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ a $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Paso 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Paso 2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $90$ para $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Paso 4

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Paso 5

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Paso 6

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 1.995$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda es $- 1.995$ .

$- 1.995$

Paso 7

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Paso 8

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Paso 9

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 1.995$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha es $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $3$ por $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Paso 10.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Paso 10.3

El valor exacto de $\cot (90)$ es $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Paso 10.4

Multiplica $- 1.995$ por $0$ .

$0$