Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 1.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.4.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $90$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sec (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 2.232$ . Por lo tanto, el límite de $\sec (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda es $- 2.232$ .

$- 2.232$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sec (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 2.232$ . Por lo tanto, el límite de $\sec (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha es $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Paso 9

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Paso 10

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Paso 11

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 1.995$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la izquierda es $- 1.995$ .

$- 1.995$

Paso 12

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Paso 13

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Paso 14

A medida que los valores de $x$ se acercan a $90$ , los valores de la función se acercan a $- 1.995$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (x)$ a medida que $x$ se acerca a $90$ desde la derecha es $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Paso 15

Multiplica $- 2.232$ por $- 1.995$ .

$4.45284$