Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Paso 1

Mueve el exponente $3$ de ${(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Paso 3.2.2.2

Divide $3$ por $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3}}^{3}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Paso 9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + 3})}^{3}$

Paso 11.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $0 + 3 \cdot 0$ y $0 + 4 \cdot 0 + 3$ .

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Paso 11.2.1.1

Reordena los términos.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.2

Factoriza $3$ de $0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot 0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 (0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (0) + 3 (0)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $0$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.2

Factoriza $3$ de $0 \cdot 4$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 3 (0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (0) + 3 (0 \cdot 4)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.4

Factoriza $3$ de $3$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.5

Factoriza $3$ de $3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.6

Cancela el factor común.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Paso 11.2.1.5.7

Reescribe la expresión.

${(\frac{0 + 0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $0$ .

${(\frac{0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Paso 11.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

${(\frac{0}{0 + 0 + 1})}^{3}$

Paso 11.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

${(\frac{0}{0 + 1})}^{3}$

Paso 11.2.3.3

Suma $0$ y $1$ .

${(\frac{0}{1})}^{3}$

Paso 11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$0^{3}$

Paso 11.2.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$