Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x \log_{2} (x)}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1

Reduce.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x \log_{2} (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)}{1}$

Paso 1.2.4

Divide $x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \log_{2} (x)$

Paso 2.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \log_{2} (x)$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{\sqrt{x}}$ y $\log_{2} (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\log_{2} (x)}{\sqrt{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Paso 3.1.3

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\log_{2} (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\log_{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Paso 3.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Paso 3.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 3.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 3.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Paso 3.3.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Paso 3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.10

Simplifica.

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Paso 3.3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 3.3.10.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (2)} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (2)} (2 \sqrt{x})$

Paso 3.6

Combina factores.

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Paso 3.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x \ln (2)} \sqrt{x}$

Paso 3.6.2

Combina $\frac{2}{x \ln (2)}$ y $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \ln (2)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{2}{\ln (2)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 5.1.2

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 5.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.9

Simplifica.

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Paso 5.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 5.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (2)}$ por $0$ .

$0$