Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\ln (x)}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{1}{\ln (x)}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{\ln (x)}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Paso 2.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{\ln (x)}$ y $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{1}$

Paso 3

Simplifica.

$e$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$