Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Paso 1.2

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Paso 1.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Combina $π$ y $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Paso 3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{8})$ es $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{π}{8}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Paso 3.2.2

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 3.2.3

Cambia $\pm$ por $+$ porque el coseno es positivo en el primer cuadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Paso 3.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 3.2.5

Simplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Paso 3.2.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 3.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Paso 3.2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.4

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.5.4.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2.5.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Paso 3.2.5.5

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 3.2.5.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.5.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 3.2.5.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimal:

$0.92387953 \dots$