Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1.1

Combina factores.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza el negativo.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (8 {(\frac{1}{2})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(\frac{1}{2})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.3

Reescribe $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{- 1})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {({(2^{1})}^{- 1})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{1 \cdot - 1})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{- 1})}^{8})}{h}$

Paso 1.1.1.7

Multiplica los exponentes en ${(2^{- 1})}^{8}$ .

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Paso 1.1.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} \cdot 2^{- 1 \cdot 8})}{h}$

Paso 1.1.1.7.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} \cdot 2^{- 8})}{h}$

Paso 1.1.1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 2^{3 - 8}}{h}$

Paso 1.1.1.9

Resta $8$ de $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

Paso 1.1.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.1

Para escribir $h$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h \cdot \frac{2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

Paso 1.1.2.2

Combina $h$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + \frac{h \cdot 2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

Paso 1.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.1.2.1

Para escribir $8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{5}}{2^{5}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot \frac{2^{5}}{2^{5}} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

Paso 1.2.1.2.2

Combina $8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ y $\frac{2^{5}}{2^{5}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5}}{2^{5}} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

Paso 1.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5} - 1}{2^{5}}}{h}$

Paso 1.2.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 1.2.2.2

Combina factores.

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Paso 1.2.2.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{5} \cdot 2^{3} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{5 + 3} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 1.2.2.2.3

Suma $5$ y $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 1.2.2.2.4

Multiplica $\frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5} h}$

Paso 1.3

Mueve el término $\frac{1}{2^{5}}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2^{8}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} lim_{h \to 0} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el exponente $8$ de ${(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(lim_{h \to 0} \frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 1 + h \cdot 2)}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h \cdot 2))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + lim_{h \to 0} h \cdot 2))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 lim_{h \to 0} h))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 lim_{h \to 0} h))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 \cdot 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} (1 + 2 \cdot 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} (1 + 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} \cdot 1)}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2})}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 \frac{1^{8}}{2^{8}} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 \frac{1}{2^{8}} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 (\frac{1}{256}) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.8

Cancela el factor común de $256$ .

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Paso 2.1.2.3.1.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 (\frac{1}{256}) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + 2 \cdot h}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.2

Como $256$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $256 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}$ con respecto a $h$ es $256 \frac{d}{d h} [{(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \frac{d}{d h} [{(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{8}$ y $g (h) = \frac{1 + 2 h}{2}$ .

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Paso 2.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1 + 2 h}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d h} [\frac{1 + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{d}{d h} [\frac{1 + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.4

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\frac{1 + 2 h}{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [1 + 2 h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} \frac{d}{d h} [1 + 2 h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [2 h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.6

Como $1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $1$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.7

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h$ con respecto a $h$ es $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.10

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.13

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.14

Multiplica $8$ por $256$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + 2 h}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 \frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{2^{7}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.6.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 \frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.2

Combina $2048$ y $\frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{128}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{2048 {(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.3

Cancela el factor común de $2048$ y $128$ .

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Paso 2.3.6.2.3.1

Factoriza $128$ de $2048 {(1 + 2 h)}^{7}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.3.2.1

Factoriza $128$ de $128$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128 (1)} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128 \cdot 1} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{1} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.3.2.4

Divide $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6.2.4

Suma $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ y $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{1}$

Paso 2.4

Divide $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} 16 {(1 + 2 h)}^{7}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 lim_{h \to 0} {(1 + 2 h)}^{7}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $7$ de ${(1 + 2 h)}^{7}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(lim_{h \to 0} 1 + 2 h)}^{7}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 2 h)}^{7}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + lim_{h \to 0} 2 h)}^{7}$

Paso 3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + 2 lim_{h \to 0} h)}^{7}$

Paso 4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{32} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\frac{1}{16 (2)} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{16 \cdot 2} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 0)}^{7}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{7}$

Paso 5.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$