Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Paso 3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 5.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 5.2.2

Eleva $\sqrt[5]{8}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Paso 5.2.5

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

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Paso 5.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 5.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 5.2.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 5.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Paso 5.2.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ como $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Paso 5.3.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4096}}{8}$

Paso 5.3.3

Reescribe $4096$ como $4^{5} \cdot 4$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $1024$ de $4096$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $1024$ como $4^{5}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Paso 5.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\ln (8) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (2^{3}) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Paso 5.5

Expande $\ln (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $4$ de $3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{8}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Forma decimal:

$1.37191978 \dots$