Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Mueve el término $80$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Paso 1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Paso 1.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Paso 1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 8$ .

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $e^{- 8}$ como ${(e^{- 4})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

Paso 3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{- 4}$ y $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Paso 3.1.4.2

Reescribe $e^{- 4}$ como ${(e^{- 2})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

Paso 3.1.4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

Paso 3.1.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{- 2}$ y $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Paso 3.1.4.5

Simplifica.

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Paso 3.1.4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Paso 3.1.4.5.2

Reescribe $e^{- 2}$ como ${(e^{- 1})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

Paso 3.1.4.5.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

Paso 3.1.4.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{- 1}$ y $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Paso 3.1.4.5.5

Simplifica.

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Paso 3.1.4.5.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Paso 3.1.4.5.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

Paso 3.1.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

Paso 3.1.12

Combina $- 1$ y $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

Paso 3.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14

Combina exponentes.

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Paso 3.1.14.1

Multiplica $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ por $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.2

Multiplica $e^{4}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.14.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.3

Multiplica $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ por $\frac{1 + e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.4

Multiplica $e^{6}$ por $e$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.14.4.1

Multiplica $e^{6}$ por $e$ .

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Paso 3.1.14.4.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.4.2

Suma $6$ y $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Paso 3.1.14.5

Multiplica $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ por $\frac{1 - e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

Paso 3.1.14.6

Multiplica $e^{7}$ por $e$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.14.6.1

Multiplica $e^{7}$ por $e$ .

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Paso 3.1.14.6.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

Paso 3.1.14.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

Paso 3.1.14.6.2

Suma $7$ y $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

Paso 3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ por $1$ .

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Paso 3.4

Combina $80$ y $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ .

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Forma decimal:

$- 80.02684601 \dots$