Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 4

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Paso 10

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Paso 13

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Paso 14.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Paso 14.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.2

Multiplica $12$ por $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.3

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.4

Resta $40$ de $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.5

Suma $6104$ y $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.6

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.7

Multiplica $4$ por $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Paso 15.8

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Paso 15.9

Multiplica $3$ por $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Paso 15.10

Suma $1$ y $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Paso 15.11

Suma $257$ y $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Paso 15.12

Reescribe $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ como $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Paso 15.13

Simplifica el numerador.

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Paso 15.13.1

Reescribe $6111$ como $3^{2} \cdot 679$ .

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Paso 15.13.1.1

Factoriza $9$ de $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Paso 15.13.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Paso 15.13.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Paso 15.14

Multiplica $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ por $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Paso 15.15

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.15.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ por $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Paso 15.15.2

Eleva $\sqrt{1793}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Paso 15.15.3

Eleva $\sqrt{1793}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Paso 15.15.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Paso 15.15.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Paso 15.15.6

Reescribe ${\sqrt{1793}}^{2}$ como $1793$ .

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Paso 15.15.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1793}$ como $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15.15.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 15.15.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.15.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.15.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.15.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Paso 15.15.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Paso 15.16

Simplifica el numerador.

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Paso 15.16.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Paso 15.16.2

Multiplica $1793$ por $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Forma decimal:

$1.84614580 \dots$