Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Evalúa $\sin (16)$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

Paso 9.2.3

Resta $1$ de $- 24$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

Paso 9.2.4

Reescribe $e^{8} - 25$ en forma factorizada.

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Paso 9.2.4.1

Reescribe $e^{8}$ como ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

Paso 9.2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

Paso 9.2.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{4}$ y $b = 5$ .

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Paso 9.3

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Paso 9.4

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $4$ .

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

Paso 9.5

Suma $54.59815003$ y $5$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

Paso 9.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

Paso 9.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $4$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

Paso 9.8

Resta $5$ de $54.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

Paso 9.9

Multiplica $59.59815003$ por $49.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

Paso 9.10

Divide $0.27563735$ por $2955.95798704$ .

$0.00009324$