Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Paso 4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 7

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Paso 9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $8$ por $8^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Multiplica $8$ por $8^{3}$ .

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Paso 10.1.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{1} \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Paso 10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[3]{\frac{8^{1 + 3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Paso 10.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{4} - 8}{8^{3} + 1}}$

Paso 10.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4096 - 8}{8^{3} + 1}}$

Paso 10.3

Resta $8$ de $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{8^{3} + 1}}$

Paso 10.4

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{512 + 1}}$

Paso 10.5

Suma $512$ y $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$

Paso 10.6

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$ como $\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$

Paso 10.7

Simplifica el numerador.

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Paso 10.7.1

Reescribe $4088$ como $2^{3} \cdot 511$ .

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Paso 10.7.1.1

Factoriza $8$ de $4088$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (511)}}{\sqrt[3]{513}}$

Paso 10.7.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 511}}{\sqrt[3]{513}}$

Paso 10.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{513}}$

Paso 10.8

Simplifica el denominador.

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Paso 10.8.1

Reescribe $513$ como $3^{3} \cdot 19$ .

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Paso 10.8.1.1

Factoriza $27$ de $513$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Paso 10.8.1.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Paso 10.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Paso 10.9

Multiplica $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 10.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.10.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 10.10.2

Mueve $\sqrt[3]{19}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Paso 10.10.3

Eleva $\sqrt[3]{19}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Paso 10.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Paso 10.10.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Paso 10.10.6

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ como $19$ .

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Paso 10.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{19}$ como $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 10.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 10.10.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.10.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 10.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Paso 10.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Paso 10.11

Simplifica el numerador.

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Paso 10.11.1

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ como $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Paso 10.11.2

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Paso 10.11.3

Combina exponentes.

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Paso 10.11.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 \sqrt[3]{361 \cdot 511}}{3 \cdot 19}$

Paso 10.11.3.2

Multiplica $361$ por $511$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{3 \cdot 19}$

Paso 10.12

Multiplica $3$ por $19$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Forma decimal:

$1.99739752 \dots$