Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + 9 x + 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Paso 10

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Multiplica $9$ por $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 64}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.3

Multiplica $3$ por $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.4

Suma $6$ y $72$ .

$\sqrt[3]{\frac{78 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.5

Suma $78$ y $192$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.6

Multiplica $8$ por $8^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.6.1

Multiplica $8$ por $8^{2}$ .

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Paso 13.6.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Paso 13.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1 + 2}}}$

Paso 13.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{3}}}$

Paso 13.7

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 512}}$

Paso 13.8

Suma $1$ y $512$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{513}}$

Paso 13.9

Cancela el factor común de $270$ y $513$ .

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Paso 13.9.1

Factoriza $27$ de $270$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 (10)}{513}}$

Paso 13.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.9.2.1

Factoriza $27$ de $513$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Paso 13.9.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Paso 13.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$

Paso 13.10

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$ como $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$

Paso 13.11

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 13.12

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 13.12.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 13.12.2

Eleva $\sqrt[3]{19}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Paso 13.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Paso 13.12.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Paso 13.12.5

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ como $19$ .

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Paso 13.12.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{19}$ como $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 13.12.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 13.12.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 13.12.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.12.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Paso 13.12.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{1}}$

Paso 13.12.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19}$

Paso 13.13

Simplifica el numerador.

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Paso 13.13.1

Reescribe ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ como $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{19^{2}}}{19}$

Paso 13.13.2

Eleva $19$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{361}}{19}$

Paso 13.14

Simplifica el numerador.

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Paso 13.14.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt[3]{10 \cdot 361}}{19}$

Paso 13.14.2

Multiplica $10$ por $361$ .

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Forma decimal:

$0.80738770 \dots$