Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 2.2

Combina $\ln (\sin (x))$ y $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 3

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 4

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Paso 4.3.2

Resta $π$ de $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Paso 4.3.3

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Paso 4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Paso 4.6

Como $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 5

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 6

Evalúa el límite derecho.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Paso 6.2

Como la función $\ln (\sin (x))$ se acerca a $- \infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $- \infty$ .

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Paso 6.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Paso 6.2.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (\sin (x))$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Paso 6.3

Evalúa el límite.

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Paso 6.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Paso 6.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Paso 6.3.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Paso 6.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.5.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Paso 6.5.1.2

Resta $π$ de $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Paso 6.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- \infty}{π}$

Paso 6.5.3

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$- - \infty$

Paso 6.5.4

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\infty$

Paso 7

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$