Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{3 x^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (4 x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (4 x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (4 x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (4 x)} \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Combina $\frac{1}{\cos (4 x)}$ y $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.7

Combina $- 4$ y $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{2 x}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{4 \sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{4 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $2$ de $4 \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Paso 2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cdot 2 \sin (4 x)}{2 x \cos (4 x)}$

Paso 2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Paso 3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.2.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (4 x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.5.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Paso 4.1.3.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{x \cos (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (4 x)]}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.8.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) \cdot 1 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.12

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x) \cdot 1}$

Paso 4.3.14

Multiplica $\cos (4 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{x \cdot - 4 \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 4.3.15

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{- 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 5.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (4 x) + \cos (4 x)}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 5.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 5.7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 5.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 5.9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 5.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 5.11

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} \cdot 4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.5

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot 4$ .

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Paso 7.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.5.2

Combina $- 4$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.5.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.7.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.7.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.8

Simplifica el denominador.

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Paso 7.8.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.8.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.8.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.8.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (4 \cdot 0)}$

Paso 7.8.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Paso 7.8.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Paso 7.8.7

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.9

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.9.1

Cancela el factor común.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.9.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3} \cdot 1$

Paso 7.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{8}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimal:

$- 2.\overline{6}$