Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{\sin (x)}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{x}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Paso 1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Paso 1.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Paso 3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ , la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca al infinito.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Paso 4

Como $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ y $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ , aplica el teorema de la compresión.

$\infty + \infty$

Paso 5

Infinito más infinito es infinito.

$\infty$