Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 1

Mueve el término $17$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el exponente $3$ de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.8.2

Suma $0$ y $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.3.8.3

Suma $0$ y $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Paso 2.1.3.8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Paso 2.1.3.8.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.8.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$17 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$17 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$17 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.5

Combina $3$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.6

Combina ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ y $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.8

Cancela el factor común de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ y ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Paso 2.3.8.1

Factoriza ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ de $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.2.1

Factoriza ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Paso 2.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.11

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.13

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Paso 2.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Paso 2.3.15

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Paso 2.3.16

Simplifica.

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Paso 2.3.16.1

Reordena los factores de $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Paso 2.3.16.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.16.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Paso 2.3.16.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.3.16.2.3

Reescribe el polinomio.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Paso 2.3.16.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.3

Multiplica $2 x - 2$ por $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.16.4.1

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 2.3.16.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.5

Cancela el factor común de $x - 1$ y ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.16.5.1

Factoriza $x - 1$ de $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Paso 2.3.16.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.16.5.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Paso 2.3.16.5.2.2

Cancela el factor común.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Paso 2.3.16.5.2.3

Reescribe la expresión.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{x - 1}{6}$ por $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $17$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Paso 5.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

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Paso 5.4.1

Combina $\frac{17}{6}$ y $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Paso 5.4.2

Multiplica $17$ por $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{17}{6}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{17}{6}$

Forma decimal:

$- 2.8\overline{3}$