Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1)}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9.1.4

Reescribe $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 9.1.4.1

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9.1.4.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4} - 1)}$

Paso 9.2.2

Evalúa $\tan (\frac{π}{4} - 1)$ .

$\frac{0}{- 0.21795809}$

Paso 9.3

Divide $0$ por $- 0.21795809$ .

$0$