Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[4]{x + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + 1} - lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + 1} - \sqrt[3]{lim_{x \to 0} x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + 1} - \sqrt[3]{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 0} x + 1} - \sqrt[3]{lim_{x \to 0} x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0 + 1} - \sqrt[3]{lim_{x \to 0} x + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{0 + 1} - \sqrt[3]{0 + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.9.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{1} - \sqrt[3]{0 + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - \sqrt[3]{0 + 1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.9.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[4]{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x + 1}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {u_{1}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{1 - 4}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $4$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{\frac{- 3}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{- \frac{3}{4}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} {(x + 1)}^{- \frac{3}{4}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{4}}}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x + 1}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.13

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.14

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4.15

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Para escribir $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.4.2

Para escribir $- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}} \cdot 3} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.3

Multiplica $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} (4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}})}}{1}$

Paso 1.4.3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{12}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.3.5.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{12}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 ({(x + 1)}^{\frac{1}{12}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}}{1}$

Paso 1.4.3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1}{12} + \frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.3

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1}{12} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.3.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1 + 2 \cdot 4}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.3.5.6.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{1 + 8}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.6.2

Suma $1$ y $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{9}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.7

Cancela el factor común de $9$ y $12$ .

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Paso 1.4.3.5.7.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3 (3)}{12}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.5.7.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}}}}{1}$

Paso 1.4.3.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}} - \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}}{1}$

Paso 1.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}}{1}$

Paso 1.5

Divide $\frac{3 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{12 {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{12}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{12} lim_{x \to 0} \frac{3 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - lim_{x \to 0} 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - lim_{x \to 0} 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $\frac{1}{12}$ de ${(x + 1)}^{\frac{1}{12}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.9

Mueve el exponente $\frac{3}{4}$ de ${(x + 1)}^{\frac{3}{4}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(0 + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 {(0 + 1)}^{\frac{1}{12}}}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1^{\frac{1}{12}}}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - 4}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.4

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1}{1^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 1$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{12}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{12}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{12}$

Forma decimal:

$- 0.08\overline{3}$