Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Paso 1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ como $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Paso 3.7

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Paso 3.8

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Paso 3.9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ fuera del exponente.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.3

Resta $1$ de $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.4.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.5

Suma $0$ y $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Paso 5.6

Suma $0$ y $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Paso 5.7

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Paso 5.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 \ln (e)$

Paso 5.9

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 5.10

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$