Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Paso 1.1.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite de $\arcsin (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\arcsin (0)}$

Paso 1.1.3.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Paso 1.3.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Paso 1.3.4

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 1.5

Combina $\frac{1}{x^{2} + 1}$ y $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{0^{2} + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0}}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{0^{2} + 1}$

Paso 4.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 4.3

Divide $1$ por $1$ .

$1$